1 引言
    声波方程有很多近似值，这些近似值能够通过数字得到评估，在对不同的声学现象进行评估时，这些值或多或少是准确的，在计算上也或多或少会昂贵一些。 
    本文对构建阵列音箱的方向性点声源(Directional Point Source)模型和边界元法(BEM)进行了比较。
    1.1 方向性点声源模型
    给定声压级的线性波方程：
          
    此处p为声压， t 是时间，c 是声速, 由此能获得时间谐波压，这个声压级是通过一个以下形式提供的球体放射状振动辐射：
            
    在此处 r表示球体中心的距离， A是一个复数，表示角频率，k 是空间波数。这是对来自点声源的辐射的准确表示。 由于波方程是线性的，从各个点声源组合辐射出来的声压级仅仅是单个点声源辐射的声压级的线性叠加。例如，由两个点声源所辐射的准确的声压级是：
        
    在此处下标表明振幅和两个点声源之间测得的距离。假定两个点声源分隔的距离是d, 设 A = A1= -A2 , 并且使近似值 r >> d ，你可以近似相位相反的两个点声源的声压级为: 
               
    在此处是测得的与连接两个源的线垂直的夹角。这是偶极近似。这恰是由决定的系数相乘的点声源获得的辐射方程，并且它可被重新表示为:
          
    在此处:
                   
    在此处被称为点声源的方向性。要注意的是：为了以这种形式表示来自某个偶极的辐射，必须使偶极远场近似值 r >> d。许多不同点声源阵列已经有了以方程式1的形式表示的辐射(偶极、 线源、线阵列、平面圆瓣等)，并且能在标准测试中得到确定。对于这些当中的每一个，类似的远场近似值必须做出，以便用方程式1的形式表示辐射。可接受的一般经验法则是当时，声源可以方程式1的形式准确地表示，此处S是辐射表面面积，是波长。数量被称为瑞利长度。
    此外，由于声波方程是线性的，通过定向的点声源收集在远场中辐射的声场正好就是每个源的辐射总和：
          
    此处下标k表示k-th方向性点声源。这即是方向性点声源模型。
    方向性点声源模型是一种由Meyer声学实验室(Meyer Sound)的多功能声学预测程序MAPP Online所采用的一种模型，这是一种在本文中用于产生定向点声源预测的程序。虽然这只是一个近似值，并且在每个独立源的近场中是无效的，但它却被发现是正确和有用的。
    在方向性点声源模型不能模拟的现象当中，是由其它物理存在造成的某个点声源的“阻碍”。这种现象是通过BEM 模型来建模的。本文的目的是要对实际音箱的方向性点声源和BEM模型的精确性进行比较。
    1.2 边界元法
    对边界元法的由来进行总结并非本文要讨论的话题。大量边界元法的由来可见于参考文献。本文的目的就是让你能够在给定表面的三个数值—声压级、离子速度或阻抗—之一时，计算一个表面的外部或内部任意点的声压级。本文中粒子速度在音箱及其低音音箱表面上的每个点有具体规定。低音用音箱上粒子速度被设定为1，并且在音箱的其它表面上被设定为零。
    Sysnoise 是一种本文中提出的用于进行边界元法计算的程序。
    2 测量
    2.1 音箱
    对于小型自供电线阵列音箱来说，这些音箱具有2个通风的五英寸锥形驱动器和3个0.75”金属圆顶高音用音箱，这些音箱被偶合到一个恒定方向性的喇叭(Meyer Sound M1D)。这种音箱在75 Hz 到5 kHz的范围内有 ±4 dB的扁平频率响应。2个5英寸驱动器以(60Hz–1000 Hz)的低频组合工作。在中频(1000Hz –1900 Hz)上，仅有一个驱动器是由交叉馈入，以维持最佳的极性和频率响应特性。这两个音箱如图1所示。当垂直阵列时，音箱间隔为 7.12英寸(183mm)。
 
    图1：用于垂直阵列测量的2个具有5英寸驱动器的音箱(Meyer Sound M1D)。
    用更大的自供电线阵列音箱进行补充测量，这种音箱具有2个通风的10英寸椎形驱动器和1个4英寸高频压缩驱动器(Meyer Sound M2D)，如图2所示。这种音箱在70 Hz到14 kHz 内有±4 dB的扁平频率响应。2个5英寸驱动器以(60 Hz – 350 Hz)的低频组合工作。在中频(350 Hz – 575 Hz)，仅有1个驱动器是由交叉馈入，以维持最佳的极性和频率响应特性。当垂直阵列时，音箱间隔为12.37英寸(314mm)。
 
    图2：具有10英寸驱动器的音箱(Meyer Sound M2D)。

    图3：2两个具有垂直阵列的10英寸驱动器(Meyer Sound M2D)的音箱。
    2.2 具有5英寸驱动器音箱的预测。
    如图4所示，第一种模型在它们的音箱箱内通过2个5英寸驱动器来创建。第二种模型如图5所示，如果它们是在3箱阵列中间的某个箱子，中间的音箱箱会阻碍碍，而由另外的两个驱动器来创建。

 图4 Sysnoise 模型在它们的音箱箱内具有2个5英寸驱动器。

图5 ：因会被三个音箱箱阻碍的两个5英寸驱动器。
    两个重低音音箱的轴上频率响应在Sysnoise中针对这两个阻碍情况进行预测。图6所示为这两种阻碍状态之间的轴上响应的dB差。
 
    图6所示为在两种不同阻碍状态下两个音箱的轴上阻碍响应的dB 差。
    M1D 5阻碍效应(红色是居中的驱动器，蓝色是靠边阵列的驱动器)的Sysnoise模型。
    如图7所示，以Sysnoise模型针对这两种阻碍状态预测两个5英寸驱动器的下一个极性响应。
 
    图7：与通过Sysnoise模型进行预测一样，针对两种阻碍状态的两个重低音音箱的极性响应。
    2.3 对具有5英寸驱动器音箱的预测和测量的比较。
    在外户的一种相对没有回声的空地上，对具有5英寸驱动器的音箱阵列的轴上频率响应进行了测量。最初，先把一个音箱放在与地面一样的高度，然后，再用放在地面上的麦克风进行轴上测量。为了进行比较，方向性点声源预测由两个具有零度张开的音箱组成。换句话说，在真实测量中离开地面的反射正是通过音箱的镜像源以方向性点声源中的计算进行建模。第4和第6个地面堆叠音箱阵列得到测量，并分别与方向性点声源的第8和第12阵列进行比较。这些数据可参见图8 。要注意的是在这些测量位置的地面上还不到1kHz以上的完美反射, 因此，在预测和测量结果的之间的差异在最高频率上并不具有很大的意义。
 
    图8：地面堆叠音箱阵列与具有双倍扬声器数量的音箱阵列的方向性点声源模型的比较。
    2.4 具有10英寸驱动器的音箱的预测和测量之间的比较。 
    通过租用音乐厅—Zellerbach Hall，对由6个具有10英寸驱动器的音箱阵列进行了测量和预测。Zellerbach Hall是一个具有2014坐席的音乐厅，位于加州大学伯克利分校内。如图9所示，它有两个包厢，装配有用于各种测试目的多种音箱阵列。如图9所示，本文中所测量的阵列位于右上角，包括了6个M2D 音箱和1个M2D-Sub音箱。 M2D-Sub音箱在预测和测量时均处于关闭状态。麦克风被放置在距离这一阵列约40英尺远的位置。
 
    图9 有10英寸驱动器的6个音箱阵列的Zellerbach Hall。

    图10所示为像MAPP Online预测的音箱和麦克风相对于大厅的位置。图10也显示了500Hz倍频带的声场。
    图10所示为音箱阵列和麦克风相对于大厅的位置，包括500Hz倍频带声场。
    图11所示为大厅中测量的频率响应和由MAPP Online预测的频率响应。
    预测和测量的频率在300Hz和10kHz之间非常匹配。在超过10kHz时，所测得的频率响应对于麦克风位置的细小变化是敏感的，并且与所预测的结果并不十分匹配。在300Hz以下时，音箱的室内混响和互相阻碍使频率响应增加到比通过方向性点声源模型预测的还要高。
    3 结论
    利用BEM 方法和方向性点声源模型对单独的音箱和音箱阵列进行了预测和测量。对具有5英寸驱动器的音箱，通过BEM 计算，预测在300Hz左右有4dB的增加，这是由于其它音箱的阻碍。在实际音箱中也测得相同的增加。
    利用方向性点声源模型对具有10英寸驱动器的音箱阵列进行了预测，并且在实际的音乐厅中进行了测量。这些测量结果在300Hz和10kHz之间有很好的匹配。在300Hz以下，音箱的室内混响和相互阻碍使频率响应增加到高于预测的值。
    尽管不十分理想，方向性点声源模型对于音箱系统的设计，尤其是在高于几百赫兹以上的频率时，已经被证实是足够准确，因此，也是有用的。特别有利的一个事实是，在短短几秒钟的时间内，方向性点声源模型可对音箱阵列加以估算，而本文中提及的BEM 计算方法的每一种则要花几个小时的时间。方向性点声源模型的速度允许用户互动地设计音响系统，与两次设计反复之间要花一个整夜的典型BEM方法相比，这是一个巨大的进步。
    音箱的相互阻碍已经证实在音箱阵列频率响应中会产生可测量的差异。BEM方法已被证实能够预测这种相互的阻碍，并能与实际的测量结果准确地匹配。 
    因为相互的阻碍已被证实会造成可测量的差异，并且因为BEM已被证实能准确地对它进行预测，作者将来要对混合的方法进行研究，在这种方法中，BEM方法被用于低频，而方向性点声源方法被用于高频。

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